Das Ikosaeder
der größte platonische Körper - ein Komplementärkörper
Das IKOSAEDER ist ein Komplementärkörper, welcher sich auch aus einem 6-Achsenkörper und einem 10-Achsenkörper ergibt.
Wenn man die Achsen der beiden 6- und 10-Achsenkörper mit den gegenüberliegenden Punkten verknüpft, so entsteht ein 20-Flächner, das IKOSAEDER. Das IKOSAEDER ist der größte der 5 platonischen Körper. Durch die Gesamtgeometrie der beiden Achsenkörper entsteht dadurch eine energetische Zelle, die regelrecht "atmet".
Die platonischen Körper haben etwas mit der Weltentstehung zu tun.
Pythagoras, der die Zahlen 3,4,5 so ins Verhältnis setzte und hieraus die bekannte Formel: a2 + b2 = c2 entstand, deutet diese Geometrie nach der alten Mysterieschule (Priesterschule), er selbst war Lehrer des 22. Grades, hieraus folgende Philosophie:
"3 zu 4" bedeutet "Der Geist, der in der Materie wirkt" und hieraus ...
"DER GEIST, DER IN DER MATERIE WIRKT UND DORT NACH DER VERVOLLKOMMNUNG STREBT"
DAS IKOSAEDER
- Das (auch, v. a. österr.: der) Ikosaeder [ikosaˈeːdər] (von altgriechisch εἰκοσάεδροςeikosáedros „Zwanzigflach“) ist ein Polyeder (ein Vielflächner), genauer: einer der fünf platonischen Körper, mit:
- zwanzig (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
- dreißig (gleich langen) Kanten und
- zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Flächen zusammentreffen.
5 PLATONISCHEN KÖRPER
In der Geometrie bezeichnet man mit den platonischen Körpern vollkommen regelmäßige konvexe Polyeder (Polyeder sind dreidimensionale Körper, die von Polygonen (Vielecken) als Seitenflächen begrenzt sind). Die Platonischen Körper sind nach dem griechischen Philosophen Platon benannt.
Anschaulich ist es für Platonische Körper nicht möglich, irgendwelche zwei Ecken, Kanten und Flächen nur aufgrund von Beziehungen zu anderen Punkten des Polyeders voneinander zu unterscheiden, denn ...
- verzichtet man auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kanten, spricht man von archimedischen Körpern
- verzichtet man dagegen auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kanten, spricht man von catalanischen Körpern.
- verzichtet man auf die Konvexität, spricht man von regulären Polyedern und schließt damit die Kepler-Poinsot-Körper ein.
Es gibt fünf Arten platonischer Körper: Tetraeder, Hexaeder (Würfel, Kubus), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (d. h., jeder platonische Körper ist zu genau einem regelmäßigen Exemplar dieser fünf ähnlich).
Ihre Namen geben auf Griechisch die Zahl ihrer Flächen wieder (4, 6, 8, 12 und 20).
SYMETRIE
Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:
- - sechs fünfzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken)
- - zehn dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
- - fünfzehn zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
- - fünfzehn Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende – und parallele – Kanten)
und ist
- - zentralsymmetrisch (Punktspiegelung am Mittelpunkt des Polyeders).
- Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente (Ikosaedergruppe). Die Untergruppe der Drehungen des Ikosaeders hat die Ordnung 60 und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe (A5, Alternierende Gruppe der Ordnung 5).
- Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle)
und ist
- ein geometrisches Teilgebilde der "Heiligen Geometrie" (Blume des Lebens)
STRUKTUR
Wie die Bilder unter "Figuren" zeigen, kann man unter den Kanten des Ikosaeders drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen, dass diese Paare drei kongruente zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. (Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind.) Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese sechs Kanten in den sechs Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.
Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke (unter den 20 Flächen des Ikosaeders), die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.
Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!/2 = 60 geraden Permutationen dieser fünf Positionen.
Symmetrie eines Ikosaeders
Die Kanten des Ikosaeders enthalten zwölf ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei und jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke gehört. Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benutzen.
FIGUREN
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